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金融工程自学笔记(2):伊藤积分(金融工程自考本科)

发布时间:2021-11-16 14:53:22 自考大学 8 来源:广东自考网

最近想自学一些金工的根底,但心中有数随机进程的课中并没有光明磊落Ito Calculus,在自学的进程中又发现了更大的坑(日常)。所以决议自(瞎)学(搞)。

自己水平极低,在学习和码字进程中不免有误,望纠正,各抒己见。

2 Ito Calculus

先规则一些符号:在本章中, W(t) 代表(规范)维纳进程,适应于filtration(过滤/ \sigma 代数流) \mathcal{F_t}L^2 是一切平方可积的随机变量所组成的空间。

在上一章中评论了维纳进程的一些特别性质,这使得伊藤积分相关于Riemann积分也有不同,这些不同主要有二:

(1) Riemann积分在 \mathbb{R} 收敛,而伊藤积分在 L^2 收敛。

(2) 在Riemann积分中咱们一般这样迫临积分值:设 f :[0, T]\rightarrow \mathbb{R}

I_n(f)=\sum_{i=0}^{n-1}f(s_i)(t_{i+1}-t_i) ,

其间 0=t_0t_1\cdots t_n=T , s_i[t_i, t_{i+1}]恣意一点。

在数分中,当 n \rightarrow \infty 时,函数的积分值(假如可积)并不依赖于 \{s_i\} 的取值。可是在伊藤积分中,这个值

I_n(f)=\sum_{i=0}^{n-1}f(s_i)(W(t_{i+1})-W(t_i)) ,

是会跟着\{s_i\}的取值不同而改变的。(留意这儿是对 W(t) 求积分了)

咱们举一个最简略的比如:就令 f(t)=W(t) ,且0=t_0t_1\cdots t_n=T平分 [0, T]n 份,考虑下面这两个 L^2 收敛的值:

S_1=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}W(t_i)(W(t_{i+1})-W(t_i)) ,

S_2=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}W(t_{i+1})(W(t_{i+1})-W(t_i)) .

读者能够用上一章的定论,以及恒等式 a(b-a)=\frac{1}{2}(b^2-a^2)-\frac{1}{2}(b-a)^2 自行测验核算一下,不难得到:

S_1=\frac{1}{2}W(T)^2-\frac{1}{2}T ,

S_2=\frac{1}{2}W(T)^2+\frac{1}{2}T .

所以,在咱们界说伊藤积分时,有必要人为规则区分下的取点,不能糊弄。伊藤积分规则在[t_i, t_{i+1}]中取 s_i=t_i也便是取每一小段的左边。这看上去是个比较随意地界说,但它也有必定的数学意义: W(s_i) 是适应于\mathcal{F_{t_i}}的。(不过我暂时仍是觉得这个界说仅仅一个约定俗成的东西)

2.1 Definition

接下来咱们陈腐从简略景象界说伊藤积分,这个进程与实剖析/实变函数中的许多证明的思维相似:先做一个简略的,关于一般景象的测验用简略景象的来迫临。(公式中的1是示性函数)

We shall call f(t), t\geq 0 a random step process if there is a finite sequence of numbers 0=t_0t_1\cdots t_n and square integrable random variables \eta_0, \cdots \eta_{n-1} such that

f(t)=\sum_{i=0}^{n-1} \eta_i 1_{[t_i, t_{i+1})}(t) ,

where \eta_i is \mathcal{F_{t_j}}-measurable for i=0,1,\cdots, n-1 . The set of random step processes will be denoted by M_{step}^2 .

从上面的界说能够推出 f(t) 的一些性质: f(t) 是适应于filtration(过滤/ \sigma 代数流) \mathcal{F_t}的,一起也是对恣意的 t 平方可积(都是依据 \eta_i 的性质能够直接推得)。与此一起,M_{step}^2的元素通过线性组合后仍在该调集中。

The stochastic integral of a random step process f\in M_{step}^2 is defined by:

I(f)=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\eta_i (W(t_{i+1})-W(t_i))

这个界说和之前【伊藤积分规则在[t_i, t_{i+1}]中取 s_i=t_i 】的叙说是共同的(当然关于random step process而言,只需不取s_i=t_{i+1}就没问题)。不过咱们更关怀这个 I(f) 的性质:

上文界说的 I(f) 平方可积,且:

E(\left | I(f)\right |^2) = E(\int_{0}^{\infty}\left | f(t)\right |^2 dt)

这个等式也叫Ito isometry,证明不难,把左右都翻开就行了,陋巷能够自己试试,留意用Wiener process的若干性质。证出来左边和右侧持平,都为 \sum_{i=0}^{n-1}{E(\eta_i^2)\Delta_it} ,其间 \Delta_it=t_{i+1}-t_i

跟上面的证明相似,咱们还能得到:

For any random step processes f,g \in M_{step}^2 ,

E(I(f)I(g)) = E(\int_{0}^{\infty}f(t)g(t)\ dt)

一起不难发现上文界说的函数 I 是一个linear map(线性映射),即:

for any f,g \in M_{step}^2 and any a,b \in \mathbb{R} ,

I(af+bg)=aI(f)+bI(g) .

2.2 General Case

简略景象下的 I(f) 就界说到这儿。下面来研讨如何将 I 拓宽到更一般的景象:咱们选用迫临的办法。

We denote by M^2 the class of stochastic process f(t), t \geq 0 such that

E(\int_0^\infty \left |f(t) \right | ^2dt)\infty ,

and there is a sequence f_1,f_2,\cdots \in M_{step}^2 of random step processes such that

\lim_{n \rightarrow \infty}E(\int_0^\infty \left |f(t) -f_n(t)\right | ^2dt)=0 .

说白了便是 f_1,f_2, \cdotsL^2 下收敛到 f

咱们在这个结构下界说 I(f) :

We call I(f) \in L^2 the Ito stochastic integral (from 0 to \infty ) of f \in M^2 if

\lim_{n \rightarrow \infty}E(\int_0^\infty \left |I(f) -I(f_n)\right | ^2dt)=0

其间 f, f_1, f_2, \cdots 满意上一个界说。咱们此刻也将 I(f) 写作 \int_0^\infty f(t)dW(t)

这儿能够看到 I(f) 的界说并没有终年给出I(f)是怎样算的,哪怕凑出来一个I(f),满意 \lim_{n \rightarrow \infty}E(\int_0^\infty \left |I(f) -I(f_n)\right | ^2dt)=0 ,就行了。

不过下面这条proposition证明了这个 I(f) 是存在且仅有的,并且有:

For any f \in M^2 the stochastic integral I(f) \in L^2 exists, is unique (as an element of L^2 , i.e. to within equality a.s.) and satisfies

E(\left | I(f)\right |^2) = E(\int_0^\infty \left | f(t)\right |^2 dt)

这是随机积分中的一个中心定论,叫Itô isometry。心中有数自己水平不可,没有彻底看懂general case下的证明。

2.3 Examples

看不懂证明问题不大,究竟假如不搞纯数的话,核算才是中心。下面咱们就来算一下试试:

Problem 1: \int_0^TW(t)dW(t)

假如陋巷记忆好的话,这个式子在最初是粗略地算过的,答案是 \frac{1}{2}W(T)^2-\frac{1}{2}T 。但那个时候的核算不行严厉,下面给一个严厉的核算:

首要为了和上面的 [0,\infty) 界说域共同,咱们先界说 f(t)=1_{[0,T)}(t)W(t) ,此刻 \int_0^TW(t)dW(t)=\int_0^\infty f(t)dW(t) ,就能够用之前的定论了。

下面咱们想要找到一列渐进到 f(t) 的random step processes f_1,f_2, \cdots,这儿有一个通用的办法:

0=t_0^n  t_1^n  \cdots  t_n^n=T ,且 t_i^n=\frac{iT}{n} ,即 \{t_i^n\} 平分这一段区间。咱们令 f_n(t)=\sum_{i=0}^{n-1}W(t_i^n)1_{[t_i^n, t_{i+1}^n)}

所以 f_1,f_2, \cdots \in M_{step}^2 ,且 \lim_{n \rightarrow \infty}E(\int_0^\infty \left |f(t) -f_n(t)\right | ^2dt)=0 (翻开即得),即收敛性得证。

最终只需算一下 I(f_n) ,再让 n \to \infty ,即得答案。

Problem 2: \int_0^T tdW(t)=TW(T)-\int_0^TW(t)dt

这个式子一看不便是Riemann积分的公式嘛。。但有一点要留意:最终一项 \int_0^TW(t)dt 叫做Riemann integral defined pathwise,我也不是很懂,欢迎沟通。

可是想算的话仍是能够算的,跟第一题相同的思路,用 n 等分结构 f_n ,中心需求恒等式 c(b-a) = db-ca-b(d-c) 来变形,有点杂乱。

Problem 3: \int_0^T W(t)^2dW(t)=\frac{1}{3}W(T)^3-\int_0^TW(t)dt

这个就更杂乱了,尽管思路也是一模相同,但需求用恒等式 a^2(b-a)=\frac{1}{3}(b^3-a^3)-a(b-a)^2-\frac{1}{3}(b-a)^3 以及 (a^2-b^2)^2=(a-b)^4+4(a-b)^3b+4(a-b)^2b^2

其实假如读者着手试一下会发现上面的恒等式都是凑好的。。中心仍是不断地用Cauchy's inequality, Jensen's inequality和降阶。

这一篇也只能算是理论根底,下一篇(假如不鸽的话)会有Ito Formula以及BS公式。